Ho trovato un lavoro part time durante la cassa integrazione: devo comunicarlo solo all'INPS o anche al datore di lavoro?

Buongiorno,
ho un lavoro part time a 30 ore settimanali presso una sala cinematografica e sono in cassa integrazione causa covid da marzo 2020.

Adesso mi hanno chiamato a fare un lavoro part time a 18 ore presso una scuola come personale ata con orario di 3 ore mattutine da lunedì a sabato.

Ai fini del calcolo del residuo di cassa integrazione che devo avere o della sua eventuale sospensione, basta inviare una raccomandata all'INPS o devo inviarla anche al mio primo datore di lavoro?

Grazie